Статистика смертности в россии. Статистика смертности в россии Таблицы смертности дожития

Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (Шекли)

Распределения продолжительности жизни и таблицы смертности

Введение

Страхование может увеличить ожидаемую полезность для лица, подвергающегося риску случайных потерь. Основой простых моделей для страховых договоров, заключенных на один временной период, являются бернуллиевские случайные величины, отражающие наступление или ненаступление страхового случая.

Наступление страхового случая в некоторых примерах приводит к другому случайному процессу, определяющему величину потерь. Существуют модели страховых систем, предназначенных для работы со случайными потерями, в которых случайность связана с тем, насколько долго будет жить некое лицо.

Основным структурным элементом подобных моделей является случайная величина, называемая продолжительностью предстоящей жизни (временем дожития) и обозначаемая через Т(х).

Итак, изложим ряд идей, которые позволят описывать и использовать распределение как этой случайной величины, так и соответствующего ей возраста в момент смерти Х.

Покажем, как распределение случайной величины "возраст в момент смерти" можно представить посредством таблицы смертности. Эти таблицы полезны во многих областях знания. Поэтому в каждой из этих разнообразных областей, где используются таблицы смертности, была разработана свои терминология и обозначения.

Например, инженеры используют таблицы смертности для изучения надежности сложных механических и электронных систем.

В биостатистике таблицы смертности используются для сравнения эффективности различных методов лечения серьёзных заболеваний.

Демографы используют таблицы смертности как средство популяционного проектирования. Мы будем использовать таблицы смертности для построения моделей страховых систем, призванных содействовать людям, находящимся перед лицом неопределенности, связанной с моментом наступления их смерти.

Таблица смертности является незаменимой компонентой многих моделей актуарной науки. Некоторые исследователи считают датой рождения актуарной науки 1693 год. В этом году Эдмунд Галлей (E. Halley) опубликовал труд "An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Various of Births and Funerals at the City of Breslau" ("Оценка степени смертности человечества, выведенная из различных таблиц рождения и погребения в городе Бреславле").

Таблицы смертности, названные Бреславльскими, которые содержатся в статье Галлея, по-прежнему представляют интерес из-за удивительно современной системы обозначений и понятий.

Вероятности, относящиеся к возрасту в момент смерти

Опишем неопределенность, связанную с возрастом в момент наступления смерти, в вероятностных терминах.

Функция дожития

Рассмотрим новорожденного. Возраст в момент смерти Х для этого новорожденного является случайной величиной непрерывного типа. Обозначим через функцию распределения этой случайной величины,

и положим

Мы будем всегда предполагать, что , откуда следует, что s(0)=1.

Функция s(x) называется функцией дожития . Для любого положительного х величина s(x) является вероятностью того, что новорожденный достигнет возраста х. Распределение с.в. Х может определяться либо заданием функции распределения либо функции s(x).

В актуарной науке и в демографии функция дожития традиционно использовалась как исходная точка для дальнейших исследований.

В теории вероятностей и в статистике такую роль играет функция распределения. Однако из свойств функции распределения мы можем вывести соответствующие свойства функции дожития.

Опираясь на вероятностные законы, мы можем формулировать вероятностные утверждения о возрасте в момент смерти в терминах либо функции дожития, либо функции распределения.

Например, вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z(x

Продолжительность предстоящей жизни для лица в возрасте х

Условная вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z при условии, что он доживет до возраста х, равна

Символ (х) используется для обозначения лица возраста х. Продолжительность предстоящей жизни этого лица (х), Х - х, обозначается через Т(х).

Актуарные символы отличаются от обозначений, принятых в теории вероятностей, и читатель, возможно, с ними не знаком. Например, функция одного переменного, которая записывается в виде q(x) в вероятных обозначениях, в этой системе будет записываться в виде qx.

Аналогично, функция многих переменных записывается в актуарных обозначениях при помощи комбинации верхних и нижних индексов и иных символов.

Для формулировки вероятных утверждений о Т(х) мы будем пользоваться обозначениями

Символ можно интерпретировать как вероятность того, что (х) умрет в течение ближайших t лет. Другими словами, является функцией распределения с.в. Т(х). С другой стороны может интерпретироваться как вероятность того, что (х) достигнет возраста х+t. Другими словами, является функцией дожития для (х). В частном случае лица в возрасте 0 мы имеем Т(0)=Х и

Если t=1 тот по соглашению мы можем опускать первый индекс в обозначениях, введенных формулами (2.4) и (2.5), получая

qx=P[(x) умрет в течение одного года],

px=P[(x)доживет до возраста х+1 лет].

Существует специальный символ для более общего события, состоящего в том, что (х) проживет t лет и умрет в течение последующих u лет, т.е. что (х) умрет в возрасте между x+t и x+t+u, а именно

Как и ранее, если u=1, то соответствующий нижний индекс в обозначении опускается, и мы получаем символ .

Сейчас у нас есть два выражения для вероятности того, что (х) умрет в возрасте между х и x+u. Формула (2.7) при t=0 дает первое из этих выражений, а формула (2.3) с z=x+u - второе выражение. Будут ли эти две вероятности различными?

Формула (2.3) может интерпретироваться как условная вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z=x+u при условии, что он доживет до возраста х.

Единственная информация о новорожденном, к настоящему моменту достигшем возраста х, состоит в том, что он дожил до этого возраста. Поэтому рассматриваемое вероятностное утверждение основано на условном распределении при условии дожития для новорожденных.

С другой стороны, формула (2.7) при t=0 определяет вероятность того, что лицо, наблюдаемое в возрасте х, умрет в возрасте между х и х+u.

Данные о лице в возрасте х могут содержать не только информацию о том, что оно дожило до этого возраста. Это может быть информация о том, что рассматриваемое лицо прошло медицинское обследование перед заключением договора о страховании, или же о том, что это лицо только что начало курс лечения от серьезного заболевания.

Таблицы смертности в том случае, когда данные о лице в возрасте х содержат не только информацию, что новорожденный дожил до возраста х, обсуждаются в, где для этих таблиц вводятся дополнительные обозначения.

Будем продолжать развивать теорию, предполагая, что формулы (2.3) и (2.7) не содержат смысловых различий, т.е. будем до раздела 8 считать, что информация о лице, дожившем до возраста х, дает то же условное распределение продолжительности предстоящей жизни, что и информация о дожитии новорожденного до возраста х, а именно

(2.8)

(2.9)

При таком подходе формула (2.7) и многие её частные случаи могут быть выражены в виде

Пошаговая продолжительность предстоящей жизни

С продолжительностью предстоящей жизни связана дискретная случайная величина, определяющая число полных будущих лет, прожитых лицом (х) до смерти. Она называется пошаговой продолжительностью предстоящей жизни лица (х) и обозначается через К(х). Поскольку с.в. К(х) является наибольшим целым числом, не превосходящим Т(х), ее функция вероятностей задается выражением

k=0,1,2,... (2.11)

Перемена неравенств местами здесь возможна, поскольку при наших предположениях о том, что распределение Т(х) непрерывно, Р[Т(х)=k]=P=0. Формула (2.11) является частным случаем формулы (2.7), где u=1 и k является неотрицательным целым числом. Из соотношения (2.11) следует, что функция распределения с.в. К(х) является ступенчатой функцией и

и k является целой частью числа у.

Часто из контекста ясно, что Т(х) является продолжительностью предстоящей жизни лица (х). В этом случае мы будем писать Т вместо Т(х). Аналогично, мы будем писать К вместо К(х).

Интенсивность смертности

Формула (2.3) выражает в терминах функции распределения и в терминах функции дожития условную вероятность того, что лицо (0) умрет в возрасте между х и z при условии, при условии, что оно доживет до возраста х.

Если разность z-x постоянна и равна, скажем с, то рассматриваемая как функция от х, эта условная вероятность описывает распределение вероятности смерти в ближайшем будущем (между моментами времени 0 и с) для лица, достигшего возраста х. Аналог этой функции, рассматривающий смерть в определенный момент, можно получить, используя плотность вероятности смерти по достижении возраста х, т.е. формулу (2.3) с ,

В этом выражении является функцией плотности непрерывной случайной величины "возраст в момент смерти". Функция в формуле (2.12) может интерпретироваться в терминах условных плотностей. Для каждого возраста х она дает значение в точке х условной функции плотности с.в. Х при условии дожития до возраста х и обозначается через .

Мы получаем

(2.13)

Из свойств функций следует, что .

В актуарной науке и в демографии называется интенсивностью смертности. В теории надежности, которая занимается исследованием вероятностей безотказной работы механизмов и систем, эта величина называется интенсивностью отказов.

Как и функция дожития, интенсивность смертности может использоваться для определения распределения с.в.Х. Чтобы это сделать, заменим в формуле (2.13) х на у и после некоторых преобразований получим

Интегрируя это выражение от х до х+n, получим

Потенцируя получаем

(2.14)

Иногда удобно переписать формулу (2.14), сделав замену s=у-х:

(2.15)

В частности, мы изменим обозначения с тем, чтобы они соответствовали использованным в формуле (2.6), положив возраст уже живших лиц равным 0 и обозначив возраст дожития через х. Тогда мы получим

(2.16)

Кроме того,

(2.17)

и (2.18)

Пусть обозначает соответственно функцию распределения и функцию плотности с.в. Т(х), продолжительности предстоящей жизни лица (х). Заметим, что (см. обозначения (2.4)). Таким образом,

(2.19)

Значит, является вероятностью того, что лицо (х) умрет в возрасте между t и t+dt, и

где в качестве верхнего предела интегрирования записано "плюс бесконечность" (это сокращенная запись интегрирования по всей области изменения функции плотности, лежащей на положительной полуоси).

Из формулы (2.19) следует, что

(2.20)

Эта эквивалентная форма бывает полезной в некоторых рассуждениях актуарной математики.

Поскольку мы имеем . Таким образом

В нижней половине таблицы 2.1. собраны некоторые соотношения между стандартными функциями теории вероятностей и функциями, характерными для приложений, связанных с возрастом в момент смерти.

Можно привести много примеров, когда соотношения, связанные с возрастом в момент смерти, можно переформулировать в более общих вероятностных терминах. Следующий пример это иллюстрирует.

Пример 2.1. Если обозначает дополнение события А в некотором выборочном пространстве и если , то следующее соотношение является вероятностным тождеством

Перепишем это тождество в актуарных обозначениях для событий

Решение. Вероятность переписывается в виде превращается в

Таким образом, мы получаем

Таблица 2.1. Некоторые функции для с.в. Х, возраста в момент смерти

Таблицы смертности

Публикуемая таблица смертности обычно содержит расположенные по возрастам индивидуумов значения основных функций и, возможно, дополнительных функций, получаемых из них.

Перед тем как представить такую таблицу, рассмотрим интерпретацию таких функций, которая непосредственно связана с вероятностными функциями, обсуждавшимися в разделе 2.

Связь функций, содержащихся в таблице смертности, с функцией дожития

В формуле (2.9) мы выразили условную вероятность того, что лицо (х) умрет в течение t лет, следующим образом:

и, в частности,

Рассмотрим теперь группу из l0 новорожденных, положив, например, l0=100 000. Для каждого новорожденного случайная величина "возраст в момент смерти" имеет распределение, заданное функцией дожития s(x). Будем обозначать через L(x) число лиц в группе, доживших до возраста х. Припишем всем лицам в группе номера j=1,2,3,...,l0 и заметим, что

где является индикатором дожития лица с номером j, т.е.

Так как E = s(x), то

Мы обозначим Е[λ(х)] через lx , это означает, что lx — математическое ожидание числа доживших до возраста х из l0 новорожденных, и мы имеем

Далее, в предположении, что индикаторы IJ взаимно независимы, λ(х) имеет биномиальное распределение с параметрами n= l0 и р = s (x). Отметим, однако, что в равенстве (3.1) не требуется предположения о независимости.

Аналогично, обозначим через ПDX число умерших в возрасте между х и х + п из начальной совокупности, состоящей из l0 лиц.

Мы обозначаем Е[ПDX] через ПdX .

Поскольку для новорожденного вероятность смерти в возрасте между х и х + п равна s (x) - s (x + n), используя рассуждения, приводившиеся выше относительно lx , получим

Если n = 1, мы опускаем левый нижний индекс в выражениях ПDX и ПdX.

Из формулы (3.1) видно, что

(3.4)

Поскольку

сомножитель lxμ(х) в (3.4) можно интерпретировать как ожидаемую плотность смертей в возрастном интервале (х,х + dх). Заметим, далее, что

, (3.5)

, (3.6)

(3.7)

Для удобства ссылок мы будем называть группу из l0 новорожденных, каждый из которых имеет функцию дожития s (x), совокупностью случайного дожития.

Пример таблицы смертности

В приводимой ниже табл. 3.1, которая называется «Таблица смертности населения: США, 1979-1981», функции tqX ,lx , tdX представлены для l0 = 100000.

За исключением первого года жизни, значение t в табулируемых функциях tqX и tdX равно 1. Другие функции, содержащиеся в этой таблице, рассматриваются в разд. 3.5.

Эта таблица создавалась не на основе наблюдений за 100000 новорожденными вплоть до смерти последнего из них. Она была основана на оценках вероятностей смерти при условии дожития до различных возрастов, полученных из данных о народонаселении США в годы, близкие к 1980-му году, году переписи населения.

Используя понятие совокупности случайного дожития, мы должны сделать предполoжение, что вероятности, полученные на основе этой таблицы, будут соответствовать продолжительности жизни тех, кто принадлежит к этой совокупности дожития.

Полезно сделать ряд замечаний относительно приведенной таблицы.

Замечания.

Ожидается, что примерно 1% новорожденных, входящих в совокупность дожития, умрет на первом году жизни.

Следует ожидать, что примерно 77% из группы новорожденных доживет до возраста 65 лет.

Максимальное число смертей в группе ожидается в возрасте между 83 и 84 годами.

Известно мало случаев, когда смерть наступает в возрасте свыше 110 лет. Поэтому часто предполагается, что существует такой возраст w , что s (x) > 0 для x < w и s (x) = 0 для x>= w .

Если существование такого возраста w предполагается, то он называется предельным возрастом. Для приведенной таблицы предельный возраст не определен. Очевидно, имеется положительная вероятность дожить до 110 лет, но таблица не содержит указаний на возраст w .

Локальные минимумы для ожидаемого числа смертей расположены в районе 11 и 27 лет, а локальный максимум — в районе 24 лет.

Хотя значения lx были округлены до целых чисел, в соответствии с формулой (3.3.1) делать это не обязательно.

Такое представление информации, как табл. 3.1, является стандартным методом описания распределения возраста в момент смерти.

Другим способом является представление функции дожития в аналитической форме, такой, как s(x)=e-cx , c>0 , x>=0. Однако большинство исследований смертности среди людей для нужд страхования использует представление s (x) — l0x / lx , что иллюстрируется табл.3.1.

Поскольку величина 100000s(x) представлена только для целых значений х, при вычислении s(x) для нецелых значений аргумента необходимо прибегать к интерполяции. Этот вопрос обсуждается в разд. 3.6.

Пример 3.1. Используя табл. 3.1, вычислим вероятность того, что лицо (20)

1) доживет до возраста 100,

2) умрет, не доживя до 70 лет,

3) умрет в десятой декаде своей жизни.

Чтобы оценить роль таблиц смертности, рассмотрим рис. 3.1, 3.2 и 3.3. Они отражают текущую смертность народонаселения, а не данные, приведенные в табл. 3.1.

На рис. 3.1 надо обратить внимание на следующее:

Интенсивность смертности положительна, и требование , очевидно, выполнено

Интенсивность смертности довольно высока на начальном этапе, а затем резко снижается до минимума в окрестности возраста 10 лет.

На рис. 3.2 и 3.3 надо обратить внимание на следующее:

Функция lxμ(x) пропорциональна функции плотности с.в. «возраст в момент смерти» для новорожденного. Поскольку lxμ(x) является ожидаемой плотностью смертей в возрасте х, когда речь идет о совокупности случайного дожития, график функции lxμ(x) называется кривой смертности.

Функция lxμ(x) имеет локальный минимум в окрестности возраста 10 лет. Мода распределения смертей, т. е. возраст, в котором реализуется максимум кривой смертности, находится в районе 80 лет.

Функция lx пропорциональна функции дожития lxμ(x). Ее также можно интерпретировать как ожидаемое число доживших до возраста х из всей исходной группы, состоявшей из l0 лиц.

Точки локального экстремума функции lxμ(x) соответствуют точкам перегиба функции lx, поскольку

4. Совокупность детерминированного дожития

Перейдем ко второй, невероятностной, интерпретации таблиц смертности. С точки зрения математики она восходит к понятию коэффициента выбытия (отрицательного роста) и потому связана с приложениями к задачам о скорости роста в биологии и в экономике. Она по природе детерминистическая и приводит к понятию совокупности детерминированного дожития, или когорты.

Совокупность детерминированного дожития, как вытекает из таблицы смертности, имеет следующие характеристики:

Изначально она состоит из l0 лиц возраста 0.

Для членов совокупности в любом возрасте действуют фактические годовые коэффициенты смертности (выбытия), которые определяются величинами qx в таблице смертности.

Совокупность является замкнутой. В нее не может входить никто, кроме тех l0 лиц, которые находились в ней в самом начале. Выход из этой совокупности обусловлен фактическими годовыми коэффициентами смертности (выбытия) и только ими.

Из приведенных характеристик вытекает, что

………………………….. (4.1)

где lx обозначает число лиц, доживших до возраста х в совокупности дожития. Эта цепочка равенств, порожденная числом l0, называемым корнем таблицы смертности, и множеством значений qx , может быть переписана в виде

………….. (4.2)

Между совокупностью детерминированного дожития и моделью сложных процентов имеется аналогия, некоторые положения которой суммируются в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Понятия теории сложных процентов и соответствующие им понятия в теории совокупностей детерминированного дожития

Сложные проценты	Совокупность дожития
A (t)=Величина капитала в момент времени t , время измеряется в годах	lx =Размер группы возраста x , возраст измеряется в годах
Эффективная годовая процентная ставка (приращения)	Фактический годовой коэффициент смертности (выбытия)
Эффективная n -летняя процентная ставка, начиная с времени t	Фактический -летний коэффициент смертности, начиная с возраста х
Интенсивность счисления процента в момент времени t	Интенсивность смерти в возрасте х

Заголовки к столбцам табл. 3.1 для tqx ,lx, tdx относятся к совокупности детерминированного дожития. Хотя математические основы для совокупностей случайного и детерминированного дожития различны, функции tqx ,lx, tdx имеют одинаковые математические свойства и анализируются одинаково.

Понятие совокупности случайного дожития имеет то преимущество, что позволяет пользоваться всем аппаратом теории вероятностей. Совокупность детерминированного дожития концептуально проще и ее легче использовать, но она не отражает случайных колебаний числа доживших до определенного возраста.

Другие характеристики, связанные с таблицами смертности

Выведем выражения для некоторых общеупотребительных характеристик распределений с.в. T(х) и K(х) и введем общий метод вычислений некоторых из этих характеристик.

Характеристики

Математическое ожидание с.в. Т(х), обозначаемое через èx, называется полной ожидаемой продолжительностью жизни. Используя интегрирование по частям, мы получим

(5.1)

Из существования E следует соотношение . Таким образом,

Полная ожидаемая продолжительность жизни в различных возрастах часто используется для сравнения уровней общественного здравоохранения различных стран. Аналогичное интегрирование по частям дает эквивалентное выражение для E :

(5.3)

Этот результат полезен для вычисления D [ T (x)] по формуле

(5.4)

Во всех приведенных выкладках мы предполагали, что E и E существуют. Можно построить функцию дожития s (x) = (1 + х) -1 , для которой это будет не так.

Можно определить другие характеристики распределения с.в. Т(х). Медиану продолжительности предстоящей жизни лица (x), которая обозначается через m (x) , можно найти как решение уравнения

или

относительно m (х). В частности, m(0) является решением уравнения s = 1/2. Мы также можем найти моду распределения с.в. Т(х), указав значение t , которое доставляет максимальное значение функции tPxμ(x+t) .

Математическое ожидание с.в. К(х) обозначается через еx . Эта величина называется пошаговой ожидаемой продолжительностью жизни. Применяя определение и описанное в приложении 5 суммирование по частям, мы получаем

(5.6)

Снова из существования E [ K (x)] следует соотношение limkk-> ∞(- kpx)=0 . Таким образом, проведя замену переменной, по которой проводится суммирование, имеем

(5.7)

Повторяя рассуждения, проведенные для непрерывной модели, и пользуясь формулой суммирования по частям, получаем

Из существования Е[ K (x)2 ] вытекает соотношение limkk-> ∞k2(- kpx)=0 .Проведя замену переменной, по которой производится суммирование, получаем

(5.9)

(5.10)

Для завершения обсуждения некоторых компонент табл. 3.1 мы должны ввести дополнительные функции. Символ L2 обозначает общее ожидаемое число лет, прожитых между возрастами x и x + 1 дожившими до возраста х лицами из исходной группы, содержавшей lo новорожденных. Мы имеем

(5.11)

где интеграл в правой части равен числу лет, прожитых теми, кто умер в возрастном интервале между х и х+1, a lx+1 равно числу лет, прожитых в возрастном интервале между х и х + 1 теми, кто дожил до возраста х + 1.

Интегрирование по частям дает

(5.12)

Функция Lx также используется в определении повозрастного коэффициента смертности в интервале между х и х + 1, который обозначается через mx , где

(5.13)

Приведенные выше определения для mx и Lx можно распространить на воз растные интервалы длины, отличной от единицы:

(5.14)

(5.15)

Для совокупности случайного дожития nLx является общим ожидаемым числом лет, которые прожиты в возрастном интервале между х и х + n дожившими до возраста ж лицами из исходной группы, содержавшей l о новорожденных, а nmx является повозрастным коэффициентом смертности, наблюдавшимся в этой группе на интервале (х, х + n).

Символ Tx обозначает общее число лет, прожитых после достижения возраста х лицами, дожившими до этого возраста, из исходной группы, содержавшей l0 новорожденных. Мы имеем

(5.16)

Последнее выражение можно интерпретировать как интеграл от общего времени, прожитого между возрастами x + t и x + t + dt группой из lx+t лиц, которые дожили до этого возрастного интервала. Обратим также внимание, что Tx является пределом величины nLx , когда n стремится к бесконечности.

Среднее число лет предстоящей жизни для lx лиц из группы, доживших до возраста x, определяется выражением

в соответствии с формулами (5.1) и (5.2).

Мы можем найти выражение для среднего числа лет, прожитых между возрастами х и х + n группой из lx лиц, доживших до возраста х:

Эта функция является усеченной (на n-летнем интервале) полной ожидаемой продолжительностью жизни для лиц (х) и обозначается через .

Последней функцией, связанной с описанной в этом разделе интерпретацией таблицы смертности, является среднее число лет, прожитых между возрастами х и х + 1 теми лицами в группе доживших до возраста х, которые умирают в некоторый момент между этими возрастами. Эта функция обозначается через α(х) и определяется соотношением

(5.18)

При вероятностном взгляде на таблицы смертности мы получили бы

Если мы предполагаем, что

т. е. если моменты смерти равномерно распределены внутри годичного возрастного интервала, то мы получим

Это обычное приближение функции α(х), пригодное для лиц всех возрастов, кроме совсем юных и очень старых, где, как показывает рис. 3.2, это предположение может не соответствовать действительности.

Пример 5.1. Покажем, что

Решение. Из (5.11), (5.12) и (5.18) мы получаем

Формулу можно обосновать, приближая интеграл в (5.12) с помощью формулы трапеций

5.2. Рекуррентные формулы

Пример 5.1 иллюстрирует применение численного анализа для нахождения характеристик таблиц смертности. Для приближенного интегрирования используется формула трапеций.

Для иллюстрации другого вычислительного метода, который использует рекуррентные формулы, рассмотрим вычисление полных и пошаговых ожидаемых продолжительностей жизни. При применении рекуррентных формул будем использовать одну из двух следующих форм:

обратная рекуррентная формула

прямая рекуррентная формула

(5.20)

Переменная х обычно принимает целые неотрицательные значения.

Таблица 5.1. Обратные рекуррентные формулы для ex и

Для вычисления функции u(х) при целых неотрицательных значениях х нам нужно знать соответствующие значения функций с(х) и d(x) и начальное значение функции и(х) . Эта процедура используется в последующих главах и иллюстрируется в табл. 3.5.1, где для вычисления ex и применяются обратные рекуррентные формулы.

6. Предположения для дробных возрастов

Ранее мы обсуждали непрерывную случайную величину Т, продолжительность предстоящей жизни, и дискретную случайную величину К, пошаговую продолжительность предстоящей жизни.

Таблица смертности, представленная в разделе 3, полностью определяет распределение вероятностей с.в. К. Для определения распределения с.в. Т мы должны постулировать некоторую аналитическую форму или основываться на таблице смертности, приняв некоторое предположение о структуре распределения между целыми точками.

Рассмотрим три широко используемых в актуарной науке предположения. Они будут сформулированы в терминах функции дожития и в такой форме, которая позволяет показать природу интерполяции на интервале (х,х + 1), вытекающую из каждого из этих предположений. В каждом утверждении х является целым и 0<=t<=1. Сформулируем предположения:

Линейная интерполяция: s(x + t) = (1 — t) s (x) + t s(x + 1). Это приводит к равномерному распределению или, точнее, к равномерному распределению моментов смерти внутри каждого годичного возрастного интервала. При этом предположении tPxявляется линейной функцией.

Показательная интерполяция, или линейная интерполяция для ln(s(x + t) : ln(s(x - 1)) = (1 — t)ln(s (x) + t ln(s (x + 1)). Это согласуется с предположением о постоянной интенсивности смертности внутри каждого годичного возрастного интервала. При этом предположении tPxявляется показательной функцией.

Гармоническая интерполяция: ln(x + t) = (l — t)ln(s(x))+ t ln(s(x+ l)). Это то, что называется предположением о гиперболичности (исторически, предположением Балъдуччи, поскольку в этом случае tPxявляется гиперболической кривой.

Опираясь на эти основные определения, для остальных стандартных вероятностных функций можно вывести формулы в терминах вероятностей, указанных в таблице смертности.

Такие результаты представлены в табл. 6.1. Заметим, что мы с тем же успехом могли бы сформулировать эквивалентные определения в терминах функции плотности, функции распределения или интенсивности смертности.

Вывод выражений, входящих в табл. 6.1, является просто упражнением, заключающимся в подстановке сформулированных выше предположений о s(x + t) в соответствующие формулы разделах 2 и 3. Мы продемонстрируем этот процесс для равномерного распределения смертей. Для определения первого выражения в столбце, относящемся к равномерному распределению, начнем с соотношения

а затем подставим соответствующее выражение для s(x + t) и получим

Для второго выражения воспользуемся формулой (2.13) и

Деление числителя и знаменателя в правой части на s(x) приводит к формуле

Третье выражение является частным случаем четвертого при у = 1 — t . Рассматривая четвертое выражение, начнем с равенства

затем, подставив соответствующее выражение для s(x + t) и s(x + t + у) , получим

Пятое выражение является дополнением первого, и последнее выражение в столбце, относящемся к равномерному распределению, является произведением второго и пятого выражений.

Таблица 6.1. Вероятностные функции для дробных возрастов

Если, как и ранее, х является целым числом, то анализ можно провести, введя случайную величину S = S(x), такую, что

Где Т является продолжительностью предстоящей жизни, К — пошаговой продолжительностью предстоящей жизни, a S — случайной величиной, представляющей прожитую дробную часть года, в котором наступила смерть.

Поскольку К является неотрицательной целочисленной случайной величиной, a S — случайной величиной непрерывного типа, вся масса которой сосредоточена на интервале (0,1), мы можем исследовать их совместное распределение, записав

P[(K = k)∧(S<=s)]=-P(k

Теперь, воспользовавшись выражением для s q x +k в предположении равномерности распределения, как показано в табл. 6.1, получим

P[(K = k)∧(S<=s)] = kPx sPx+k = k|qxs = P(K = k)P(S<=s)... (6.2)

Таким образом, совместное распределение св. К и S может быть разложено на произведение маргинальных распределений с.в. К и S. Поэтому в предположении равномерности распределения моментов смерти с.в. К и S оказываются независимыми. Поскольку распределение P(S<=s) = s является равномерным на (0,1), св. S имеет именно такое равномерное распределение.

Пример 6.1. Будут ли св. К и S независимыми в предположении постоянной интенсивности смертности?

Решение. Воспользовавшись информацией из табл. 6.1, относящейся к пред- пол ожению о постоянной интенсивности смертности, мы получаем

P[(K = k)∧(S<=s)] = kPx sPx+k = kPx

Для обсуждения этого результата будем различать два случая:

Если в выражение для рx+kвходит к, то мы не можем представить совместное распределение св. К и S в виде произведения маргинальных распределений. Отсюда мы делаем вывод, что с.в. К и S не являются независимыми.

В частном случае, когда рx+k = рx— константа,

Для этого частного случая мы получаем, что с.в. К и S оказываются независимыми в предположении постоянной интенсивности смертности. Ў

Пример 6.2. Покажем, что в предположении равномерности распределения смертей

Решение. (a)

(b) D[T] = D. Из независимости св. К и 5 в предположении равномерности распределения смертей получаем D[T] = D[K] + D[S]. Далее, поскольку с.в. S равномерно распределена на (0,1), D[T] = D[K] + 1/2. Ў

7. Некоторые аналитические законы смертности

Имеется три основных аргумента в пользу принятия аналитического выражения для функции смертности или для функции дожития.

Первый — философский. Многие явления, изучавшиеся в физике, можно эффективно объяснить с помощью простых формул. Поэтому, основываясь на биологических соображениях, некоторые авторы предположили, что дожитие в человеческом сообществе управляется такими же простыми законами.

Второй аргумент — практический. Функция с несколькими параметрами легче воспринимается, чем таблица смертности с, возможно, 100 параметрами или вероятностями смерти.

Кроме того, некоторые из аналитических выражений обладают простыми свойствами, которые удобны при выводе вероятностных утверждений, касающихся более чем одного лица.

Третий аргумент для простых аналитических функций дожития — легкость оценивания параметров этой функции на основе данных о смертности.

В последние годы энтузиазм в отношении простых аналитических функций дожития существенно уменьшился. Многие полагают, что вера в универсальные законы смертности наивна. При все увеличивающемся быстродействии и объеме памяти компьютеров преимущества некоторых аналитических выражений при проведении вычислений, касающихся более чем одного лица, уже не играют значительной роли.

Однако в результате некоторых недавних исследований оживились биологические аргументы в поддержку аналитических законов смертности.

В табл. 7.1 приводятся несколько семейств простых аналитических функций смертности и дожития, соответствующих различным известным законам. Для удобства ссылок указаны названия законов, лежащих в их основе, и даты публикации.

Таблица 7.1. Функции смертности и дожития для различных распределений

Исходное распределение		Ограничения
Де Муавр (1729)
Гомперц (1825)	ехр[-m(сx-1)]	В > 0, с > 1, х>О
Мейкем (1860)	ехр[-Аx-m(сx-1)]	В > 0, А >= -В, с > 1, x>0
Вейбулл (1939)		k>0, n>0, x>=0

Отметим следующие факты:

Специальные символы определяются формулами m =B/ln(c), u=k/(n+1).

Закон Гомперца является частным случаем закона Мейкема при А = 0.

Если с = 1 в законах Гомперца и Мейкема, то мы приходим к показательному (постоянная интенсивность смертности) распределению.

При рассмотрении закона Мейкема считалось, что константа А отвечает несчастному случаю, а выражение Всx— старению.

Выражения в столбце s(x) табл. 7.1 были получены подстановкой в (2.16). Например, для закона Мейкема

где m = В/ In с.

Селекционные и заключительные таблицы

В разд. 2 рассматривалось, как можно двумя способами интерпретировать величину tPx, вероятность того, что лицо (х) доживет до возраста х + t.

Первая интерпретация состояла в том, что эту вероятность можно вычислить на основе функции дожития для новорожденных при единственном предположении, что новорожденный доживет до возраста х. Эта интерпретация стала основой для обозначений и для выведения формул.

Вторая интерпретация состояла в том, что дополнительная информация о лице возраста х может сделать исходную функцию дожития непригодной для вычисления вероятностных утверждений о продолжительности предстоящей жизни лица (х) .

Например, некоторое лицо может пройти обследование и быть принятым на страхование в возрасте х. Наличие этой информации позволило бы считать, что распределение продолжительности предстоящей жизни лица (x) отличается от того, которое мы считали бы подходящим для лица возраста х, если бы не располагали этой информацией.

Второй пример: некоторое лицо может стать инвалидом в возрасте х. Эта информация позволяет нам предполагать, что распределение продолжительности предстоящей жизни лица (х) отлично от соответствующего распределения для лица, не ставшего инвалидом в возрасте х.

В этих двух примерах следует отдать предпочтение специальной интенсивности смертности, учитывающей конкретную информацию, которая становится известной в возрасте х. Без этой конкретной информации об (х) интенсивность смертности по прошествии времени t будет функцией только достигнутого возраста х + t, что в предыдущем разделе обозначалось через μ(х + t).

Если известна дополнительная информация в момент х, то интенсивность смертности в момент х + tявляется функцией этой информации в момент х и величины t . Мы будем обозначать ее через μx(t), где отдельно указывается возраст х, в котором была доступна дополнительная информация, и величина t . Сама дополнительная информация в явной форме в это обозначение не входит, но ясна из контекста.

Другими словами, полная модель для таких лиц является набором функций дожития, по одной для каждого возраста, в котором имеется информация о принятии на страхование, об инвалидности и т. п. Это множество функций дожития можно воспринимать как функцию двух переменных.

Одна переменная — возраст в момент селекции (например, в момент выдачи страхового договора или наступления инвалидности) [х] и вторая переменная — время, прошедшее с момента выдачи договора или с момента селекции t . Тогда каждая из обычных функций таблицы смертности, отвечающая такой функции от двух пере менных, является двумерным массивом по [х] и t .

Мы используем здесь квадратные скобки, чтобы отметить переменную, относящуюся к возрасту, в котором проводилась селекция. Когда наличие селекции явствует из интенсивности смертности, мы будем опускать квадратные скобки, чтобы не усложнять обозначения.

Схематическая диаграмма на рис. 8.1 иллюстрирует эти соображения. Например, предположим, что имеется некоторая специальная информация о группе лиц возозраста 30 лет. Может быть, они были приняты на страхование, а может быть, стали инвалидами.

Для этих лиц можно построить специальную таблицу смертности. Условная вероятность смерти в каждый год с момента селекции будет обозначаться q+i i = 0,1,2,..., и будет входить в первую строку на рис. 8.1. Индекс сражает двумерную природу этой функции, где в квадратные скобки заключен возраст тридцать лет, , т. е. функция дожития в первой строке опирается на специфическую информацию, имеющуюся в возрасте 30 лет.

Вторая строка на рис. 8.1 будет содержать вероятности смерти для лиц, относительно которых специфическая информация стала известной к возрасту 31. В актуарной науке такая двумерная таблица смертности называется селекционной таблицей смертности

Путь для совокупности дожития, прошедшей сеекцию в возрасте [х]

Линия, связывающая ячейки для лиц, достигших одинакового возраста, по прошествии 15 лет с момента селекции

Другой путь для совокупности дожития по прошествии 15 лет с момента селекции; эти вероятности составляют заключительную таблицу смертности

Рис. 8.1. Селекционная, заключительная и агрегативная смертность, 15-летний период селекции

Замечания

В биостатистике индекс [х] селекционной таблицы не обязан быть возрастом. Например, в исследованиях онкологических заболеваний [х] может быть классификационным индексом, который зависит от размера и местоположения опухоли, и время после селекции будет отсчитываться от момента постановки диагноза.

Заключительную смертность, после 15-летнего периода селекции, для возраста [x] + 15 следует оценивать, используя наблюдения из всех ячеек, вида [х — j]+ 15 + j , j = 0,1,2,.... Поэтому q[x]+15 = qx+15оценивается взвешенным средним оценок смертности по различным группам селекции. Если эффект селекции достаточно ве
лик, то на получаемую оценку будут влиять данные из различных ячеек.

Влияние селекции на распределение продолжительности предстоящей жизни Т может уменьшаться по мере удаления от момента селекции. Вне некоторого времен ного интервала величины q для лиц одинакового возраста будут по существу равны вне зависимости от возраста в момент селекции.

Точнее, если имеется наименьшее целое число r, такое, что |q[x]+r-q+r+j| меньше, чем некоторая маленькая положительная постоянная, для всех возрастов селекции [х] и для всех j > 0, то было бы экономично построить множество селекционных и заключительных таблиц, срезая двумерный массив после колонки r + 1.

Для временных интервалов, превосходящих г, мы можем использовать соотношение

Первые r лет после момента селекции составляют период селекции.

Получающийся массив содержит некоторое множество таблиц смертности, по одной на каждый возраст селекции, причем для одного возраста селекции элементы таблицы смертности расположены по горизонтали в течение периода селекции, а затем по вертикали в заключительный период. Это показано на рис. 8.1 стрелками.

В исследованиях смертности, проводившихся Обществом актуариев для лиц, которые были застрахованы по стандартному договору индивидуального страхования жизни, использовался 15-летний период селекции (см. рис. 8.1), т. е. считается, что

За пределами периода селекции вероятности смерти снабжаются одним индексом, достигнутым возрастом, т.е. вместо q+r+jпишется qx+r - Например, при r = 15 и вместо q+15 и вместо q+20 пишется q45.

Таблица смертности, в которой функции даются только для достигнутых возрастов, называется агрегативной таблицей. Такой, например, является табл. 3.1. Последний столбец в селекционной и заключительной таблице является специальной агрегативной таблицей, которая обычно называется заключительной таблицей, что отражает использование селекции.

Таблица 8.1 содержит вероятности смерти и соответствующие значения функций l[x]+ k из издания «Permanent Assurances , Females , 1979-82, Tables», опубликованного Институтом и факультетом актуариев Великобритании.

Ее называют таблицей AF 80. У этой таблицы двухлетний период селекции, и ее проще использовать для иллюстраций, чем таблицы с 15-летним периодом, такие, как «Основные таблицы», опубликованные Обществом актуариев США.

Таблица 8.1. Выдержка из селекционной и заключительной таблицы AF 80

В табл. 8.1 мы имеем три вероятности смертности для возраста 32, а именно

q = 0,000250 < q+1 = 0,000352 < q32= 0,000422.

Упорядочение этих вероятностей понятно, поскольку смертность для лиц, только что принятых на страхование на случай смерти, должна быть ниже. Можно считать, что столбец (3) предоставляет информацию о заключительных вероятностях смертности.

Основные отличия страхования жизни и страхования иного, чем страхование жизни (не-жизни).

1. По страхованию жизни компания выплачивает обычно раз (за исключением текущих видов договоров), в рисковых видах страхования выплаты обычно могут осуществляется неоднократно.

2. В страховании жизни размер выплат определяется условиями договора, и страховщик заранее знает величину потерь в случае наступление страхового случая. В рисковых видах страхования размер ущерба является случайной величиной.

3. Статистическая оценка задач гораздо сложнее в страховании ином, чем страхование жизни.

4. Риски договора страхования нежизни в отличие от страхование жизни, имеющие как правило долгосрочный характер, заключаются обычно на 1 год.

5. Страхователь заключает договор рискового страхования, значительно сложнее разделить на априорные однородные, чем в договоре страхование жизни, где классификация осуществляется по полу, возрасту и составу договора страхования.

6. Премии в страховании жизни можно разделить на рисковую и накопительную компоненту, создающую возможность инвестирования средств, в то время как рисковые виды страхования имеют доходность в гораздо меньшем масштабе и только за счет разрыва по времени сбора премий и выплат по наступившим убыткам.

2. Страхование жизни – что такое, особенности, цели.

Страхование жизни – предоставление страховщиком в обмен на уплату страховых премий гарантий выплатить определенную сумму денег (страх-ю сумму) страхователю или указанным им третьим лицом в случае наступления определенных событий в жизни застрахованного: болезни, инвалидности, смерти или его дожития до определенного возраста.

Бенефициар (ий) –выгодоприобретатель – лицо, которому предназначен денежный платеж; лицо не являющиеся страхователем, но обладающее правом на получение страховых выплат в случае смерти держателя страхового полюса.

Особенности:

Объект страховой защиты – жизнь человека – не имеет стоимости.

Меняет свое содержание признак чрезвычайности, отличающий категорию страхования. Если такое событие, как наступление смерти, сохраняет чрезвычайный характер, то факт дожития застрахованного до окончания строка страхования или оговоренного события нельзя отнести к чрезвычайному событию.

Договор страхования жизни является долгосрочным (не менее 1 года), поэтому сочетает в себе не только рисковую, но и сберегающую функцию.

Имущественного характера

1) Защита семьи при потере кормильца

2) Обеспечение в случае потери трудоспособности

3) Обеспечение пенсии в старости

4) Накопление средств детям при достижению совершеннолетия

5) Оплата ритуальных услуг

Финансового характера

1) Накоплетельные, связанные с инвестированием

2) Защита частного капитала на случай смерти партнера по бизнесу или руководства

3) Защита наследства

Построение таблиц смертности. Основные понятия и показатели.

Таблица смертности (продолжительности смерти) –систематизированный набор статистических данных о продолжительности жизни населения данной страны или выделенной группы.

Выделяют группы по:

Региону

Профессии

В полных табл-ах смертности показатели даны по возрастам с интервалом в 1 год. В кратких с интервалом 5-10 лет.

l x – число доживших до возраста х лет

d x – число умерших в возрасте х лет.

q x – вероятность умереть в возрасте х лет.

p x – вероятность лица в возрасте х лет прожить еще 1 год.

n p x - вероятность лица в возрасте х лет прожить еще n лет

n q x - вероятность лица в возрасте х лет умереть в течение n лет

n / m q x – вероятность для лица в возрасте х лет умереть в промежутки мужду (x+m) и (x+m+n) годами.

4. Функция дожития – безусловная и условная. Её связь с другими демографическими функциями.

Безусловная вероятность:

Если через T x обозначить остаточную продолжительность жизни для наугад выбранного лица возраста х, т.е. время, котороые это лицо еще проживет, достигнув возраста х, то число

S х (t) =P(Т х ≥ t)

Будет обозначать условную вероятность

t p x =Pr(Т ≥ х+t/ Т ≥ х)

достижения возраста x+t для лица, достигшего до х лет. Откуда следует, что

5. Функция распределения продолжительности предстоящей жизни и её связь с функцией дожития.

Функция дожития – непрерывная функция возраста S(x), означающая долю лиц доживших до возраста Х.

S(x) – вероятность для наугад выбранного лица из данной совокупности родившихся дожить до возраста x.

T – Продолжительность жизни для такого лица.

Дополнение функции дожития до 1, то есть функция

F(x) =P(Т < х)=1-S(x)

Называется функцией распределения продолжительности жизни, то есть вероятность того, что данное родившееся лицо не доживет до возраста х.

6. Интенсивность смертности и её связь с функцией дожития.

Доля лиц, умирающих в ед. времени в промежутке [ x,x+1] – средняя скорость вымирания лиц, достигших возраста х

Интенсивность (сила) смертности (force of mortality)

Функция дожития через интенсивность смертности:

Условная функция дожития через интенсивность смерти.

Таблица смертности представляет собой набор столбцов, которые соответствуют различным демографическим показателям. Элементы этих столбцов упорядочены по возрасту. Первым в таблице смертности обычно приводится число людей, доживающих до возраста x :

Это число относится к фиксированному числу родившихся, обозначаемому и называемому корнем таблицы смертности. Обычные значения для : 1 млн., 10 или 100 тыс., но оно может быть и произвольным. Таким образом, если - число родившихся, то означает, что лишь 98729 из них доживут до своего первого дня рождения, а число

означает, что лишь 98645 доживут до своего второго дня рождения и так далее

Таблицы смертности заканчиваются строкой, соответствующей предельномувозрасту.

В разных таблицах этот возраст может быть различным. Чаще всего это 90, 100, 110 лет.

Отметим, что вследствие различия в средней продолжительности жизни для мужчин и женщин соответствующие показатели для них в таблицах обычно даются раздельно (приложение А).

Также важной характеристикой является , которая представляет число умерших в течение одного года после достижения ими возраста x .

Очевидно:

так как среди достигших возрастаx, каждый из них либо достигнет возрастаx +1, либо умрет в течение одного года. Эта формула может быть переписана

(1)

Смысл формулы (1) состоит в том, что число умерших в возрасте x есть разность между числом доживших до возраста x и числом доживших до возраста x +1.

Приведенные соотношения касались двух смежных возрастов. Рассмотрим связи между ними для более продолжительных периодов.

Ясно, что

Общим образом можно записать

Формула (2) в предельном случае дает равенство

которое означает, что каждый из тех, кто достиг возраста x лет, умрет в возрасте от x до предельного. Формулы (2) и (3) можно перепишем в сокращенной форме:

Также очень важным показателем таблицы смертности является величина , которая означает долю умерших в течение года из числа достигших возраста x, то есть в промежутке между x и x+ 1. Тогда

Число рассмотрим как вероятность умереть в течение года для человека возраста x . Точнее число (из таблицы смертности) является статистической оценкойэтой вероятности. Дополнение до 1 , то есть число

означающее долю тех из что доживут до возраста x +1. Эта величина является вероятностьюпрожить еще год после достижения возраста x.

, (4)

, то есть (5)

Формулы (5), (4) можно переписать в виде

или .

Аналогично

или

Рассмотрим характеристики более продолжительных периодов.

есть вероятность прожить еще n лет для лица, достигшего возраста x .

Соответственно число
– вероятность умереть в возрасте x+n лет.

Для вероятностей выполняется:

Для вероятности :

или

И наконец

будет означать вероятность для лица возраста x , умереть в промежутке между x+m и x+m+n .

Очевидно, что

Пусть – число лиц из группы N человек возраста x , которые погибнут в течение года.

или (6)

Формула (6) показывает эмпирическую оценку . Для достаточно большой группы людей (то есть если N велико) равенство (6) будет выполняться с большей степенью вероятности (закон больших чисел), поэтому число можно считать хорошей оценкой для ожидаемого числа тех достигших возраста x , кто умрет в течение года. Аналогично число есть ожидаемое число лиц из совокупности N достигших возраста x , которые умрут в течение n лет, а число есть ожидаемое число тех из N лиц, что доживут до возраста x+n .

Существует множество методов построения таблиц смертности. Основное различие этих методов состоит в выборе базовогопоказателя, на основании которого вычисляются все остальные. Чаще всего в качестве базового показателя берется , то есть вероятность смерти в течение года после достижения возраста x . Этот показатель оценивается исходя из имеющихся статистических данных. Это далеко не тривиальная задача, и о некоторых связанных с ней трудностях будет сказано ниже. Оценив , можно получить все остальные показатели.

Задавшись определенным начальным возрастом и соответствующим значением корня таблицы , последовательно вычисляют

(7)

(8)

для x = a, a+1, … ,w .

Если же исходными являются не вероятности смерти , а вероятности дожития , то ряд значений для можно получить по формулам

, , для .

Можно, конечно, сначала вычислить по формуле

а потом применить формулы (7) и (8).

Вычисленные значения округляются, как правило, до ближайшего целого числа. Для достижения необходимой точностив качестве корня таблицы берут достаточно большое число (10 тыс., 100 тыс. и так далее).

Таблицы, строящиеся на основании переписи, как правило, полные и охватывают весь диапазон возрастов, начиная с 0. Таблицы, основанные на специальном статистическом учете, например, в страховых компаниях, пенсионных фондах, могут иметь и другие значения начального возраста .

Иногда, особенно при построении специальных таблиц, корень таблицы помещается в "середину", то есть значения и относятся к "промежуточным". В этом случае процесс вычисления идет в двух направлениях: к младшим и старшим возрастам. При этом значения и для старших возрастов получаются по формулам, приведенным выше, а для младших возрастов применяются формулы

, (9)

, (10)

если исходный показатель . Если же в качестве исходного взят , то, получив сначала

применяют формулы (9) и (10).

Таким образом, центральным моментом при построении таблиц смертности на основе показателей или является получение их оценки на основании статистических данных. При использовании прямого метода эта оценка строится непосредственно на определении этих вероятностей, например, для по формуле:

Применение такого метода в жизни наталкивает на некоторые трудности. Дело в том, что так называемая совокупность (когорта) лиц должна родиться в одно и то же время, поэтому реальное наблюдение за такой группой лиц и построение таблицы на основе этого наблюдения является затруднительным, а то и невозможным. То есть таблица смертности должна полностью отражать процесс вымирания какого-либо поколения людей. В демографии такой метод получил название когортного.

Когортный метод является не только трудным для применения, но и искаженным в результате миграций, изменения рождаемости и смертности в виду условий окружающей среды, а также других демографических или экологических событий.

Поэтому на практике статистические данные и получаемые на их основе оценки относятся нек совокупности ровесников, а к совокупности современников, включающей лица различных возрастов. Поскольку в населении в любой момент есть лица любого возраста, то можно получить показатели для полного диапазона возрастов (от 0 до предельного). При этом полученные данные интерпретируются так, как если бы они относилиськнекоторому поколению. Такое поколение называется в демографии условным или гипотетическим, а основанный на описанной выше интерпретации метод изучения демографических процессов называют поперечным анализом.

При построении таблиц смертности на основе вероятностей оценку этих величин можно получить путем преобразования возрастных коэффициентов смертностей. Эти коэффициенты получаются на основе статистических данных. Таким образом, данные поперечного анализа основываются на реальном поколении. Корректность такого переноса зависит от ряда условий, относящихся к состоянию и динамике демографических процессов. Обычно эти условия формулируются в виде соответствующих гипотез, выполняющихся в реальности лишь частично.

Называемые просто таблицами смертности)

Вероятностные таблицы смертности (чаще

Это самый совершенный инструмент для анализа состояния и тенденций уровня смертности. Они представляют собой систему взаимосвязанных показателей, характеризующих изменение вероятности смерти по мере увеличения возраста людей, или, напротив, изменение вероятности дожития до некоторого возраста, а также среднюю продолжительность жизни некоторого поколения родившихся. Иначе говоря, таблицы смертности описывают последовательность и скорость вымирания поколения.

Показатели (колонки) таблиц смертности:

l x - числа доживающих до возраста «х » лет;

d x - числа умирающих в возрасте «х » лет (т.е. в возрастном интервале от «х » до «х + 1 »);

q x - вероятность умереть в возрасте «х » (т.е. в возрастном интервале от «х » до «х + 1 »);

р х - вероятность для доживших до возраста «х » дожить и до следующего года возраста «х + 1 »;

L x - числа живущих в возрасте «x х » до «х + 1 »;

Т х - числа живущих в возрасте «х » лет и старше (число человеко-лет предстоящей жизни для данного поколения);

е 0 - средняя ожидаемая продолжительность жизни для новорожденных;

е х - средняя ожидаемая продолжительность жизни для достигших возраста «х ».

В таблицах смертности принимают первоначальную численность поколения (число родившихся, основание или корень таблицы смертности) неизменной во времени и равной единице и прослеживают, как с переходом от возраста к возрасту, от 0 до предельного возраста (100 лет или 100 с небольшим) первоначальная совокупность поколения родившихся убывает в результате смерти от 1 до 0.

Отсюда следует, что в таблицах смертности все числа, кроме числа родившихся, равного 1, меньше 1, т. е. дроби. Чтобы избежать большого количества дробных чисел, число родившихся (основание таблицы) в практических расчетах принимают равным 100000 или 10000, в зависимости от желаемой значности (точности) расчетов. Но не менее 10000.

Различают таблицы полные и краткие. В полных таблицах возрастные интервалы равны одному году, в кратких - пяти годам. Целесообразно рассмотреть взаимосвязи показателей таблиц смертности на примере полных таблиц. В них с переходом от возраста «х » к возрасту «х + 1 » число доживающих l x будет последовательно уменьшаться на величину числа умирающих в возрасте «х », т.е. d x . Математически эта связь выглядит следующим образом:

L x +1 = l x – d x (6.5.1)

Если проследить эту последовательность (порядок) вымирания поколения, начиная с основания таблицы смертности, то она будет выглядеть следующим образом: l 0 = 1 или 10000 или чаще 100000 – d 0 = l 1 – d 1 = l 2 – d 2 = l 3 и т.д. В общем виде эту последовательность можно записать так: l x +1 = l x – d x (для полных таблиц) и l х+п = l x – d x + n ,где п - длина возрастного интервала.

Каждый родившийся рано или поздно умирает, и в конечном счете число умерших (из каждого поколения, численность которых мы определили заранее) составит l 0 , т. е. число родившихся, или

где w –1 - предельный возраст, до которого доживает последний человек из поколения родившихся.

Формула (6.5.1) может быть использована в различных перестановках, к примеру:

l x = l x +1 + d x ; d x = l x – l x +1 , и т.д.

Вероятность смерти в возрасте «х » (в возрастном интервале от «х » до «х +1 ») ¾ q x - определяется в соответствии с правилами теории вероятностей как отношение числа умирающих в возрасте «х » – d x к числу доживающих до этого возраста, т.е. l z . В виде формулы эта связь выглядит так:

Из формулы хорошо видно, что вероятность смерти q x можно интерпретировать и как долю умирающих в возрасте «х » из числа доживающих до начала возрастного интервала «х ».

Напротив, вероятность дожития до возраста «х + 1» - р х для тех, кто дожил до возраста «х х »), будет определяться как отношение числа доживающих до возраста «х + 1» к числу доживших до возраста «х » (до начала возрастного интервала «х »). Запишем эту связь в виде формулы:

Отсюда можно так же, как и в предыдущей формуле, видеть, что вероятность дожития есть не что иное, как доля переживающих возраст «х » из числа доживающих до его начала.

Формулы (6.5.2) и (6.5.3) так же, как и (6.5.1), используются в виде различных преобразований, например: l x +1 = l x р х; d x = l x q x b ит. д.

Поскольку мы рассматриваем смертность, то в пределах одного возрастного интервала возможна только единственная альтернатива: либо пережить этот интервал и благополучно отметить следующий день рождения, либо, увы, не дожить до него. Иначе говоря, сумма вероятностей дожития до следующего возраста либо умереть, не дожив до него, равна единице, что можно изобразить в виде формулы:

q x + р х = 1. (6.5.4)

Эта простейшая формула оказывается, однако, очень полезной, так как, зная одну из двух вероятностей, всегда легко найти вторую (вычитанием из единицы).

Начав прослеживать закономерное уменьшение чисел доживающих с основания таблицы смертности, замечаем вскоре, что: l 1 = l 0 p 0 .

Если основание таблицы l 0 = 1, то, естественно, l 0 в формуле можно опустить, и она примет вид: l 1 = р 0 .

Далее, следуя той же логике: l 2 = l 1 p 1 . Подставим вместо l 1 его значение из предыдущей формулы (l 1 = р 0). Получим: l 2 = р 0 p 1 . Затем: l 3 = l 2 р 2 = p 0 p 1 p 2 и т.д. Отсюда, кстати, видно, что число доживающих - нечто иное, как произведение вероятностей дожития, или, иначе говоря, оно само - тоже вероятность, вероятность для новорожденного дожить до возраста «х ». В обобщенном виде эту связь можно записать и так:

l x = p 0 p 1 p 3 x ………. x p x -1 . (6.5.5)

Поскольку в практических расчетах основание таблицы смертности принимается равным не 1, а 10000 и чаще всего 100000, то l 0 опускать не приходится и формула (6.5.5) выражается в следующем виде:

l x = l 0 p 0 p 1 p 2 p 3 x ………. x p x-1 .

Здесь, пожалуй, самое время сказать, что в таблицах смертности нет ни одного доживающего или умирающего. Вообще - ни одного человека. Одна смерть в чистом виде. Одни вероятности и доли. В этом их большое преимущество перед другими измерителями уровня смертности, поскольку при отсутствии человека нет и зависимости показателей таблиц смертности от возрастной структуры населения. Наименования «числа доживающих», «числа умирающих» - опять же условные наименования, не более того.

Рис. 6.2. Вероятность умереть q x для мужского и женского населения СССР, 1986-1987 гг.

Последовательность изменений чисел доживающих l x графически представляет собой линию дожития, характеризующую порядок вымирания поколения. Чем ниже уровень смертности, чем большая доля родившихся (поколения) доживает до старших возрастов, тем более выпуклой формы будет кривая дожития (см. рис.6.4).

Числа живущих. В таблицах смертности числа доживающих показывают долю остающихся в живых к началу каждого следующего года возраста, то есть к возрасту «x » лет остается в живых часть поколения l x , к возрасту «х + 1» - часть l x +1 , и т.д.

Однако на самом деле при переходе от одного возраста к следующему численность поколения убывает непрерывно, поэтому число живущих в возрасте «х » есть некоторая средняя величина между значениями чисел доживающих l x и l x +1 . Если разбить каждый год возраста на предельно малые промежутки времени и с помощью дифференциального исчисления определить средние величины живущих в каждом таком мельчайшем интервале, то изменение чисел живущих определяется путем интегрирования таких средних. В реальности интегрирование заменяется суммированием.

d x

Рис. 6.3. Число умирающих d x мужчин и женщин СССР,

На практике обычно мы не располагаем значениями чисел доживающих l x ,для более дробных возрастных интервалов, чем год. Поэтому для средних возрастов, в которых число доживающих изменяется почти прямолинейно, число живущих рассчитывается как обычная средняя арифметическая величина из двух чисел доживающих, на начало и конец возрастного интервала, т. е.:

На тех же участках кривой дожития, где ее кривизна значительна, число живущих определяют по формуле, учитывающей эту кривизну:

где d x - число умирающих в таблицах смертности; т х - возрастные коэффициенты смертности того же населения, для которого строились таблицы смертности.

Обычно по формуле (6.5.7) рассчитывают число живущих для всех участков кривой дожития, кроме самых первых детских возрастов, для которых используются специальные формулы (мы познакомимся с ними позднее, при построении краткой таблицы смертности).

Средняя ожидаемая продолжительность жизни. Число живущих можно трактовать также и как число человеко-лет, прожитых всем поколением родившихся в интервале возраста «x ». Тогда, следовательно,

Рис. 6.4. Линии дожития l x мужского и женского населения СССР, 1926-1927, 1958-1959, 1986-1987 гг.

поколение родившихся l 0 проживет на первом году жизни (т.е. в возрасте 0 лет) L 0 лет, на 2-м году - L i лет, на 3-м - l 2 лет и т.д., а всего:

где Т 0 - число человеко-лет, которое предстоит прожить данному поколению родившихся.

Если эту сумму человеко-лет разделить на первоначальную численность поколения, т.е. на число родившихся l 0 , то получим очень важный социальный показатель, который называется показателем средней ожидаемой продолжительности жизни.

Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни - это число лет, которое проживет один человек в среднем из данного поколения родившихся при условии, что на всем протяжении жизни этого поколения смертность в каждой возрастной группе будет оставаться неизменной на уровне расчетного периода.

Продолжительность предстоящей жизни рассчитывается для новорожденных (или иначе говорят - ожидаемая продолжительность жизни при рождении ) идля достигших некоторого возраста «х».

В виде формул расчет обеих средних можно представить следующим образом.

Для новорожденных:

(6.5.9)

Поскольку при расчете средней продолжительности предстоящей жизни для новорожденных основание таблицы смертности l 0 = 1, его можно опустить, и окончательно этот показатель выражается в виде суммы чисел живущих в жизненном интервале от рождения поколения до его полного исчезновения.

Для людей, достигших определенного возраста «x », расчет отличается лишь тем, что число доживающих до возраста «х», в знаменателе дроби уже меньше 1 и его опускать нельзя.

(6.5.10)

Для анализа состояния и тенденций уровня смертности чаще всего бывает достаточным использование кратких таблиц смертности, т.е. по пятилетним возрастным интервалам. Для их построения необходимо располагать пятилетними возрастными коэффициентами смертности или данными для расчета таких коэффициентов. Обычно достаточно рассчитать лишь одну колонку таблиц, l x , q x или p x , а все остальные колонки, кроме L x , рассчитываются на основе взаимосвязей показателей таблиц смертности, представленных выше.

Для перехода от возрастных коэффициентов смертности т х к вероятностям смерти q x используется обычно одна из двух формул:

где q x - вероятность смерти в возрасте «х »; т х - возрастной коэффициент смертности; n - длина возрастного интервала.

Все остальные формулы показаны выше.

Построим для примера краткие таблицы смертности мужского населения России за 1995 г. и рассмотрим алгоритм расчета (см. таблицу 6.5).

1 . Из двух методов расчета по формулам (6.5.10) и (6.5.1 1) выберем второй метод - по показательной функции, потому, что она лучше, чем первая, учитывает кривизну изменения чисел доживающих l x . При этом вместо колонки вероятностей смерти q x будем рассчитывать колонку ее дополнения до единицы, т.е. вероятность дожития до следующего возраста, p x . Таким путем мы избежим большого числа вычитаний из единицы.

2. Но сначала нужно возрастные коэффициенты смертности разделить на 1000 (т.е. перевести их из промилле в доли единицы) и перемножить на длину соответствующих возрастных интервалов. Для первого возрастного интервала 0 лет множитель будет равен 1, для второго - 1 - 4 года - 4, для остальных интервалов - 5.

3. Затем, возводя основание натурального логарифма «е » в отрицательную степень, равную произведению возрастного коэффициента смертности на длину возрастного интервала, находим значения колонки вероятностей дожития p x (колонка 3 в таблице 6.5).

4. Следующая колонка - чисел доживающих «l x ». Первое значение числа доживающих для возраста 0 лет - основание таблицы смертности 100000 (константа, которую всегда нужно помнить). Умножив 100000 на число доживающих p 0 , получаем число доживающих l 1 , умножив l 1 на p 1 , получаем l 2 , и так - все значения колонки чисел доживающих до возраста «85 лет и старше».

5. Затем рассчитываем значения колонки d x как разность между соседними числами доживающих, т.е. 100000 – l 0 = d 0 ; l 1 – l 2 = d 1 , и т.д.

6. Далее рассчитываем числа живущих. Для всех возрастных интервалов, кроме первых двух ранних детских, числа живущих рассчитываются по формуле L x = dx / т х. Для первых двух возрастных интервалов - 0 и1-4 - числа живущих определяются иначе ввиду резкой кривизны изменения линии дожития на этом участке. Так число живущих в возрасте 0 лет определяется уравнением L 0 = l 0 - 2 / 3d x . Число живущих в следующем детском возрастном интервале 1-4 года определяется из следующего уравнения 4 L 1 = 1,704l 1 + 2,533l 5 - 0,237l 10 .Число живущих в так называемом открытом возрастном интервале - 85 лет и старше - определяется по формуле L 85+ = l 85 / m 85+ .Поскольку все дожившие до 85 лет раньше или позже умрут после этого возраста, d 85+ = l 85 .

Таблицы смертности (дожития) - это первый и самый распространенный и важный вид демографических таблиц.

Таблицы смертности (дожития) - это числовые модели смертности, служащие для характеристики ее общего уровня и возрастных особенностей в различных населениях.

Они представляют собой систему упорядоченных по возрасту и взаимосвязанных между собой рядов чисел, которые в своей совокупности описывают процесс вымирания некоторого теоретического поколения с фиксированной начальной численностью (корень таблицы). Обычно ее принимают равной некоторой степени 10, т.е. 10 000, 100 000, 1 000 000 и т.п. Чаше всего за корень таблицы смертности принимают 100 000.

В демографии различают таблицы смертности для реального и условного поколения.

В зависимости от шага временной шкалы различают полные (шаг = 1 году) и краткие (шаг = 5 или 10 годам) таблицы.

Показатели (функции) таблиц смертности делятся на интервальные и кумулятивные. Первые характеризуют смертность на данном интервале возраста, вторые - за весь период жизни до или после данного точного возраста. Кумулятивные показатели таблиц смертности обозначаются с помощью соответствующего символа и одного (правого) нижнего индекса при нем (см. ниже), обозначающего точный возраст - (здесь 5 - любой символ, х - точный возраст х лет. Интервальные показатели таблиц смертности обозначаются с помощью соответствующего символа и двух (правого и левого) нижних индексов. При этом правый индекс обозначает начало соответствующего возрастного интервала, а левый его длину - п Б х (здесь 5 - любой символ, х - точный возраст х лет, т.е. начало возрастного интервала, п - длина возрастного интервала). Таким образом, запись 5 тождественна записи 5 , .

Показатели (функции) таблиц смертности связаны между собой определенными соотношениями. Все они могут быть вычислены почти из любого из них, но обычно за исходный принимается тот, который наиболее простым и ясным образом характеризует процесс смертности и легче всего получается из статистических данных о смертности.

Таким показателем является интервальная вероятность умереть в возрасте (х, х+п) лет , наиболее естественным образом связанная с повозрастными коэффициентами смертности.

Обычно построение таблиц смертности начинается именно с этого показателя. Ниже в этой главе будет показана техника построения таблиц смертности демографическим методом.

Рассмотрим теперь основные функции полной таблицы смертности (см. табл. 8.6), т.е. такой, у которой п = 1. В этом случае левый

индекс, как всегда, не пишется:

Графа 1. Возрастной интервал (х, х+1) год.
Графа 2. Числа доживающих до точного возраста х лет (/ д.). / является кумулятивным показателем. Первое число в этой графе (/ 0) - это конвенциональный корень таблицы смертности. Все прочие представляют собой числа доживающих до точного возраста х лет и равны разности чисел доживающих до точного возраста х - 1 год и чисел умирающих на интервале возраста (х- 1, х) лет, т.е. / = / , - (1 Х у С другой стороны, поскольку с1 х = = 1 х Х Ц х, каждое 1=1 Х _, - X ЯхЛ = 1 Х _, X (1 - V,) = X Р,_ г и поэтому 1 = = / 0 х р 0 х р ] х... х р р где р у _, - вероятность остаться в живых на интервале возраста (х - 1, х) лет (см. ниже). Иначе говоря, числа доживающих / равны вероятности того, что каждая единица исходной совокупности / 0 доживет до точного возраста х лет. Совокупность всех / называется порядком вымирания, а линейная диаграмма, построенная на основе этих чисел, - линией дожития.
Графа 3. Интервальная вероятность умереть в возрасте (х, х+1) лет, д х. Каждое д х представляет собой вероятность того, что человек, достигший точного возраста х лет, не доживет до возраста х+1 год. Эти вероятности рассчитываются на основе соответствующих повозрастных коэффициентов смертности реального населения. Именно из вероятностей умереть в возрасте (х, х+1) год затем рассчитываются все остальные показатели таблиц смертности.
Графа 4. Интервальная вероятность остаться в живых в возрасте (х, х+1) год, р. Каждое р является дополнением д до 1 (р = 1 - д) и представляет собой вероятность того, что человек, достигший точного возраста х лет, доживет и до возраста х+1 год.
Графа 5. Числа умирающих на интервале возраста (х, х+1) год, с1 х. Числа в графах 3-5 рассчитываются из наблюдаемых д х и корня таблицы с использованием следующих соотношений: д=1 х д ; / + 1 =1 х -д и р х = 1- д. Поскольку = 1 хЛ -1 х, сумма всех с! равна 1 .
Графа 6. Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х + 1) лет, а" . Каждый из й х, умирающих на возрастном интервале (х, х + 1) лет, прожил полные х лет плюс некоторую часть этого возрастного интервала. Средняя из этих долей и обозначается. Ее величина зависит от характера распределения

Попробуйте самостоятельно доказать это утверждение.

Функции таблиц смертности

Таблица 8.6

Интервал возраста (x, x + n) лет	доживающих до точного возраста	Вероятность умереть на интервале возраста (х, х +л) лет,	Вероятность остаться в интервале возраста (х, х + п) лет,	умирающих на интервале возраста (х, х +л) лет,	Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х + п) лет,	Числа живущих на интервале возраста (х, х +л) лет,	человеко- лет, прожитых после достижения точного возраста	ожидаемая продолжи тельность предстоящей жизни в возрасте

				1х х А

Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х + п) лет, (п а х) рассчитывается в зависимости от особенностей распределения смертности на данном возрастном интервале. В таблице приведены значения этого параметра, взятые из работы американского демографа Чинлонг Чаня (См.: Chin Long Chiang. The Life Table and Its Construction // Introduction to Stochastic Processes in Biostatistics. N.Y., 1968. P. 189-214).

случаев смерти внутри возрастного интервала (х, х + 1) лет. В самых младших возрастах это распределение имеет левостороннюю асимметрию (т.е. сдвинуто к началу возрастного интервала), и потому величина а х меньше ] / 2 , чему она была бы равна в случае равномерного распределения и чему она конвенционально равна для возрастов старше 4 лет. Данный показатель играет важную роль в современных модификациях демографического метода построения таблиц смертности, который будет рассмотрен ниже.

Графа 7. Общее число человеко-лет, прожитых в возрастном интервале (х, х + 1) лет, Ьх. Все те, кто проживет полный возрастной интервал (х, х + 1) лет, вносит в общее число прожитых человеко-лет (1х - (1х) лет. Каждый же из тех, кто умрет на этом интервале возраста, вносит в! х в среднем х часть этого интервала. Отсюда: Ь х = (I - б) + а" х = 0, 1, 2,..., со - 1). В полных таблицах смертности в возрастах 5 лет и старше величина конвенционально принимается равной х / 2 и, поэтому, для этих возрастов

К =‘х- °. 5 Ц = - + 2 + " "

Графа 8. Число человеко-лет, которое предстоит прожить после достижения точного возраста х лет, Т. Этот кумулятивный показатель равен сумме человеко-лет, прожитых на каждом возрастном

интервале, начиная с возраста х лет, или Т х = 2 ^Ь Х.

Графа 9. Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни в возрастех лет ё х . Это число показывает, сколько в среднем предстоит прожить человеку, достигшему возраста х лет. Поскольку всем дожившим до этого возраста (их число равно
1) предстоит прожить Т лет, постольку ё х лет. Поскольку далее, как было показано выше, каждый, кто умирает на интервале возраста (х+1) год, проживает в среднем а его часть, постольку средний возраст смерти на этом интервале равен (х х ё г + а"). Отсю-
(0-1 | у 7

да = I х х д х + а х. Каждое ё х = - суммирует смертность в возрастах о К

старше х лет, что делает эту графу наиболее важной в таблице смертности. Более того, это одна из трех функций таблицы смертности (наряду с ц х и а х), которая имеет смысл безотносительно к корню таблицы. Как правило, ё х убываете возрастом. Единственное исключение представляет собой возраст 0 лет, когда ё 0 из-за высокой младенческой смертности. Это называется парадоксом младенческой смертности. В высокоразвитых странах с очень низкими значениями младенческой смертности этот парадокс отсутствует.

КАТЕГОРИИ